Fonction de La Variable Complexe Cours avec exercices d’applications

 Fonction de La Variable Complexe

Cours avec exercices d’applications

L’analyse complexe, ou étude des fonctions d'une variable complexe, constitue une branche essentielle et fascinante des mathématiques. Elle étend les concepts de l’analyse réelle aux nombres complexes, apportant ainsi de nouveaux outils puissants pour résoudre des problèmes dans divers domaines tels que les mathématiques pures, la physique, l’ingénierie, et même la finance.

Ce cours s’intéresse principalement aux fonctions d’une variable complexe, c’est-à-dire aux fonctions définies sur un sous-ensemble de ℂ et prenant leurs valeurs dans ℂ. À travers une progression claire, nous introduirons les notions fondamentales telles que la continuité, la différentiabilité complexe (ou holomorphie), les séries de Taylor et Laurent, les résidus, et le théorème des résidus.

L’étude des fonctions complexes se distingue par la rigueur de ses résultats et la beauté de ses démonstrations. Contrairement au cas réel, une fonction complexe dérivable possède des propriétés très fortes : elle est infiniment dérivable et même analytique. Cela ouvre la porte à des méthodes d’intégration élégantes et efficaces, comme le montre l’utilisation du théorème de Cauchy ou de la formule des résidus.

Ce cours est accompagné d’exercices d’application soigneusement sélectionnés pour illustrer les concepts abordés, renforcer la compréhension théorique et développer des réflexes de résolution. Il s’adresse aux étudiants de licence scientifique, aux élèves des classes préparatoires et à toute personne désireuse de maîtriser les bases de l’analyse complexe.